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第1讲:课堂内容
第1讲:课件
数学符号
: 求和 , : 求积 , : 无穷 , : 所有 , : 任意 , : 极限
: 对数 , : , : 整除 , : 取模 , : 同余
: 下取整 , : 上取整 , : 向 取整
集合
-
把研究对象称为元素,把元素的总体叫做集合。
-
用 表示一个集合:
- 列举法
- 描述法
-
集合的大小:。
-
性质:确定性,互异性,无序性。
命题
-
概念:表达判断语义的句子,如,若 则 ;存在三边相等的三角形。
-
命题分类
- 真命题:若 ,则 ;
- 假命题:若 ,则 。
-
关系
- 原命题:相对而言的概念,任何命题都可以是原命题,确定了原名题之后,才有了逆命题等概念。假设原命题为:若 则 。
- 逆命题:若 则 。
- 否命题:若 则 。
- 逆否命题:若 则 。
原命题和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假。
条件
- 充分条件:若 能推出 ,则 是 的充分条件( 比 小);
- 必要条件:若 能推出 ,则 是 的必要条件( 比 大)。
- 充要条件: 是 的充分条件和必要条件,则则 是 的充要条件( 共存亡)。
区间
用小括号或中括号括起来的一堆数字 ,要求 ,表示 到 这一段的实数集,用括号的不同来区分是否包含 。
数列
按照固定顺序排列的一列数字。
项数分类
有穷数列:项数有限。
无穷数列:项数无限。
关系分类
递增数列:每一项都大于后一项。
递减数列:每一项都小于后一项。
常数列:各项都相等。
名称
首项:数列的第一项。
末项:数列的最后一项。
项数:组成数列的数的个数。
等差数列
满足 的数列,其中 是常数,表示公差。
通项公式:
前 项和:
等比数列
满足 的数列,其中 是常数,表示公比。
通项公式:
前 项和:
$n = +\infty ,|q| < 1 : S_n = a_1 \times \dfrac 1{1-q}$
取模
,表示 的余数。
数学中,若 是负数,对 取模后仍会得到一个在 的数字,如 。实际上是通过加减若干 的到一个在 的数字。
计算机中的 对于负数的处理则是先不看符号取模,在取反,如 。
计算机中可以这样处理负数取模:。
逆元
,在数学中,我们可以把除以 看作乘 。
现在我们需要找到一个 ,满足 。
费马小定理:在 为质数的情况下,有 。
所以 $\dfrac ab \% p = a \times (\dfrac 1b \% p) = a \times b^{p-2}$。
概率期望
事件
一类(或一种)情况,如骰子的点数是 ;太阳从西边升起;骰子的点数大于 小于 。
分类
必然事件:一定会发生的事件。
不可能事件:一定不会发生的事件。
关系:
独立事件:若 事件和 事件的结果互相没有任何关系。
互斥事件:若 事件和 事件内的情况不可能同时发生。
对立事件: 互斥且总是会发生一个内的事件。
概率
一个时间发生的概念,是事件发生可能性的度量。 表示 事件发生的概率。
盒子里有 个黑球, 个白球,一次性摸两个,一黑一白的概率为
条件概念
表示在已知 事件发生的基础上, 事件发生的概率。
期望
用 来表示一个随机变量的期望值; 可以指投一个骰子的点数,一个人的考试成绩等。
期望值是一个随机变量无限次输出取值得到的一些数字的平均值。
若一个随机事件的某个结果的概率是 ,则期望 次该事件能得到这个结果。
期望的线性性:
若 相互独立,则 。
例题
- 一个 个点的完全无向图,起初在 点,每秒钟随机走向另一个点,求到达 点的期望时间。
设 表示从 点走到 点的期望时间。
考虑求解 ,从它走的第一步入手。由于这是一个完全图,任意两点之间都有直接联通的边,所以走的第一步可以是任意点。
如果走到了 点,那么显然期望步数为 ,概率为 。
如果走到了其它 个点,假设当前走到了 点,那么从 点走到 点的期望步数为 ,概率为 。而一共有 个 点,所以这样的期望步数为 $\sum_{k \ne s, k \ne t} (f_k + 1)\times \dfrac 1{n-1}$。
所以,将两种方案加起来,得到总期望值为 $1 \times \dfrac 1{n-1} + \sum_{k \ne s, k \ne t} (f_k + 1)\times \dfrac 1{n-1}$。
由于是完全图,所以我们可以看作每个点都是一样的,所以可以将上式中所有的 替换为 ,还可以把 符号去掉,替换为 ,所以这个式子就变成了 $f_s = \dfrac 1{n-1} + (n-2) \times (f_s + 1)\times \dfrac 1{n-1}$,解方程得 。
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